FIND THE SUM OF A SERIES OF NUMBERS WHOSE BASE IS AN ARITHMETIC PROGRESSION AND WHOSE DEGREE IS ANY NATURAL NUMBER.
Abstract
This article presents several methods for finding the sum of a series of numbers whose base is an arithmetic progression and whose degree is any natural number. Starting from simple sums, the geometric method is mainly used to derive formulas for calculating complex sums. The results obtained are also presented in general terms.
References
1. Hardy, G. H. (1949). Divergent Series. Oxford: Clarendon Press. Arifmetik va geometrik progressiyalar, umumlashgan seriyalar va ularning yig‘indilari nazariyasi haqida.
2. Knopp, K. (1990). Infinite Sequences and Series. Dover Publications. Cheksiz ketma-ketliklar, arifmetik asosli darajali qatorlar va ularning yaqinlashish shartlari.
3. Apostol, T. M. (1974). Mathematical Analysis. Addison-Wesley. Algebraik progressiyalar asosida qurilgan seriyalar yig‘indisi va tahliliy usullar.
4. Courant, R., & John, F. (1999). Introduction to Calculus and Analysis, Vol. I. Springer. Seriyalar va progressiyalar summasini topishning integral, limit va differensial usullari.
5. Bronshtein, I. N., Semendyayev, K. A., Musiol, G., & Mühlig, H. (2015). Handbook of Mathematics. Springer. Arifmetik progressiyali bazaga ega bo‘lgan darajali qatorlarning umumiy formulalari mavjud.
6. Whittaker, E. T., & Watson, G. N. (1927). A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press. Seriyalar yig‘indisi, umumiy aylanma formulalar, Bernulli koeffitsiyentlari va tahliliy funksiyalar haqida.
7. Stewart, J. (2016). Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning. Arifmetik va geometrik progressiyalar bilan bog‘liq seriyalarni summalash usullari.
8. Rahmanov, A., & To‘xtayev, A. (2002). Oliy matematika kursi. Toshkent: O‘zbekiston Milliy Universiteti nashriyoti. Oliy matematika bo‘yicha o‘zbek tilidagi manba; arifmetik va geometrik progressiyalar, cheklangan va cheksiz qatorlar yig‘indisi keltirilgan.
9. Korn, G. A., & Korn, T. M. (2000). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. Dover Publications. Arifmetik asosli qatorlarning analitik summasi va amaliy formulalari.
10. Spiegel, M. R., Lipschutz, S., & Spellman, D. (2009). Schaum’s Outline of Advanced Mathematics for Engineers and Scientists. McGraw-Hill. Seriyalarni summalashning turli usullari: induksiya, integral va umumiy formula chiqarish.
11. Dunham, W. (1990). Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics. Wiley. Klassik matematiklar tomonidan seriyalar yig‘indilarini topish bo‘yicha tarixiy ishlanmalar.
12. Koshy, T. (2007). Elementary Number Theory with Applications. Academic Press. Arifmetik ketma-ketliklarning umumiy xossalari va ularning darajali summalari.
13. Adamchik, V. (1998). On the Sum of Powers of Integers. Journal of Computational and Applied Mathematics, 79(1–2), 119–130.
14. Kuznetsov, N. Y. (1985). Kurs vysshey matematiki. Moskva: Nauka. Progressiyalar, qatorlar va ularning summasi haqidagi rus tilidagi klassik darslik.
15. Faulhaber, J. (1631). Academia Algebrae. Ulm. Natural sonlar darajalari yig‘indisi uchun birinchi umumiy formulalarni keltirgan asar.
16. Usmonov, M.T. & Shokirov.,Sh.H, (2022). Teylor formulasini matematik masalalarni еchishdagi ahamiyati. "«Science and Education» Scientific Journal" Scientific Journal, Tom-3, 19-23.
17. Usmonov, M.T. & Shokirov.,Sh.H, (2022). Dаrаjаli qаtоrlаrning tаqribiy hisоblаshlаrgа tаtbiqi. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-3, 29-32.
18. Usmonov, M.T. & Shokirov.,Sh.H, (2022). Ishoralari almashinib keluvchi qatorlar. Leybnits alomati. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-3, 24-28.
19. Usmonov, M.T. & Shokirov.,Sh.H, (2022). Teylor qatori va uning tadbiqlari. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-3, 33-38.
20. Усмонов, М.Т. (2021). Вычисление центра тяжести плоской ограниченной фигуры с помощью двойного интеграла. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 64-71.
21. Усмонов, М.Т. (2021). Биномиальное распределение вероятностей. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 81-85.
22. Усмонов,М.T. (2021). Поток векторного поля. Поток через замкнутую поверхность. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 52-63.
23. Усмонов,М.T. (2021). Вычисление определенного интеграла по формуле трапеций и методом Симпсона. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 213-225.
24. Усмонов,М.T. (2021). Метод касательных. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 25-34.
25. Усмонов,М.T. (2021). Вычисление предела функции с помощью ряда. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 92-96.
26. Усмонов,М.T. (2021). Примеры решений произвольных тройных интегралов. Физические приложения тройного интеграла. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 39-51.
27. Усмонов,М.T. (2021). Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 97-108.
28. Усмонов,М.T. (2021). Криволинейный интеграл по замкнутому контуру. Формула Грина. Работа векторного поля. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 72-80.
29. Усмонов,М.T. (2021). Правило Крамера. Метод обратной матрицы. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 249-255.
30. Усмонов,М.T. (2021). Теоремы сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 202-212.
31. Усмонов,М.T. (2021). Распределение и формула Пуассона. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 86-91.
32. Усмонов,М.T. (2021). Геометрическое распределение вероятностей. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 18-24.
33. Усмонов,М.T. (2021). Вычисление площади поверхности вращения. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 97-104.
34. Усмонов,М.T. (2021). Нахождение обратной матрицы. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 123-130.
35. Усмонов,М.T. (2021). Вычисление двойного интеграла. Примеры решений. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 192-201.
36. Усмонов,М.T. (2021). Метод прямоугольников. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 105-112.
37. Усмонов,М.T. (2021). Как вычислить длину дуги кривой?. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 86-96.
38. Усмонов,М.T. (2021). Вычисление площади фигуры в полярных координатах с помощью интеграла. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 77-85.
39. Усмонов,М.T. (2021). Повторные пределы. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 35-43.
40. Усмонов,М.T. (2021). Дифференциальные уравнения второго порядка и высших порядков. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 113-122.
41. Усмонов,М.T. (2021). Пределы функций. Примеры решений. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 139-150.
42. Усмонов,М.T. (2021). Метод наименьших квадратов. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 54-65.
43. Усмонов,М.T. (2021). Непрерывность функции двух переменных. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 44-53.
44. Усмонов,М.T. (2021). Интегрирование корней (иррациональных функций). Примеры решений. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 239-248.
45. Усмонов,М.T. (2021). Криволинейные интегралы. Понятие и примеры решений. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 26-38.
46. Усмонов,М.T. (2021). Гипергеометрическое распределение вероятностей. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 19-25.
47. Усмонов,М.T. (2021). Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. Признак Дирихле. Признак Абеля. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 66-76.
48. Усмонов,М.T. (2021). Решение систем линейных уравнений. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 131-138.
49. Usmonov, M.T. (2021). Matritsalar va ular ustida amallar. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 226-238.
50. Usmonov, M.T. (2021). Teskari matritsa. Teskari matritsani hisoblash usullari. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 292-302.
51. Usmonov, M.T. (2021). Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 323-331.
52. Usmonov, M.T. (2021). Chiziqli fazo. Yevklid fazosi. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 121-132.
53. Usmonov, M.T. (2021). Vektorlarning skalyar ko ‘paytmasi. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 183-191.
54. Usmonov, M.T. (2021). Xos vektorlari bazis tashkil qiluvchi chiziqli operatorlar. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 146-152.
55. Usmonov, M.T. (2021). Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi va ularni еchish usullari. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 303-311.
56. Usmonov, M.T. (2021). Vektorlar. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 173-182.
57. Usmonov, M.T. (2021). Kvadratik forma va uni kanonik korinishga keltirish. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 153-172.
58. Usmonov, M.T. (2021). Arifmetik vektor fazo va unga misollar. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 109-120.
59. Usmonov, M.T. (2021). Chiziqli operatorlar va ularning xossalari. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 133-145.
60. Usmonov, M.T. (2021). Determinantlar nazariyasi. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 256-270.
61. Usmonov, M.T. (2021). Matritsa rangi. Matritsa rangini hisoblash usullari. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 280-291.
62. Usmonov, M.T. (2021). Autentification, authorization and administration. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 233-242.
63. Usmonov, M.T. (2021). Vektorlar nazariyasi elementlari. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 332-339.
64. Usmonov, M.T. (2021). EHTIMOLLAR NAZARIYASI. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-1, 10-15.
65. Usmonov, M.T. (2021). Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi va ularni еchish usullari. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 333-311.
66. Usmonov, M.T. (2021). Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-21, 323-331.
67. Usmonov, M.T. (2021). Vektorlar nazariyasi elementlari. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 332-339.
68. Usmonov, M.T. (2021). Chiziqli fazo. Yevklid fazosi. «Science and Education» Scientific Journal, Tom-2, 121-132.
69. Usmonov M. T. & Qodirov F. E, BIR JINSLI VA BIR JINSLIGA OLIB KELINADIGAN DIFFERENSIAL TENGLAMALAR. AMALIY MASALALARGA TADBIQI (KO’ZGU MASALASI) , BARQARORLIK VA YETAKCHI TADQIQOTLAR ONLAYN ILMIY JURNALI: Vol. 2 No. 1 (2022): БАРҚАРОРЛИК ВА ЕТАКЧИ ТАДҚИҚОТЛАР ОНЛАЙН ИЛМИЙ ЖУРНАЛИ
70. Usmonov Maxsud Tulqin o‘g’li, Sayifov Botirali Zokir o'g'li, Negmatova Nilufar Ergash qizi, Qodirov Farrux Ergash o’g’li, BIRINCHI VA IKKINCHI TARTIBLI HUSUSIY HOSILALAR. TO’LA DIFFERENSIAL. TAQRIBIY HISOBLASH , BARQARORLIK VA YETAKCHI TADQIQOTLAR ONLAYN ILMIY JURNALI: 2022: SPECIAL ISSUE: ZAMONAVIY UZLUKSIZ TAʼLIM SIFATINI OSHIRISH ISTIQBOLLARI
71. Usmonov Maxsud Tulqin o‘g’li, Sayifov Botirali Zokir o'g'li, Negmatova Nilufar Ergash qizi, Qodirov Farrux Ergash o’g’li, IKKI ARGUMENTLI FUNKSIYANING ANIQLANISH SOHASI, GRAFIGI, LIMITI VA UZLUKSIZLIGI , BARQARORLIK VA YETAKCHI TADQIQOTLAR ONLAYN ILMIY JURNALI: 2022: SPECIAL ISSUE: ZAMONAVIY UZLUKSIZ TAʼLIM SIFATINI OSHIRISH ISTIQBOLLARI
72. Usmonov Maxsud Tulqin o'g'li. (2022). FURYE QATORI. FUNKSIYALARNI FURYE QATORIGA YOYISH. https://doi.org/10.5281/zenodo.6055125
73. Usmonov. M. T. ., & Qodirov. F. E. . (2022). DARAJALI QATORLAR. DARAJALI QATORLARNING YAQINLASHISH RADIUSI VA SOHASI. TEYLOR FORMULASI VA QATORI. IJTIMOIY FANLARDA INNOVASIYA ONLAYN ILMIY JURNALI, 8–20. Retrieved from http://www.sciencebox.uz/index.php/jis/article/view/1151
74. Usmonov. M. T. ., & Qodirov. F. E.. (2022). FURE QATORI VA UNING TADBIQLARI. IJTIMOIY FANLARDA INNOVASIYA ONLAYN ILMIY JURNALI, 21–33. Retrieved from http://www.sciencebox.uz/index.php/jis/article/view/1152
75. M.T Usmonov, M.A Turdiyeva, Y.Q Shoniyozova, (2021). SAMPLE POWER. SELECTION METHODS (SAMPLE ORGANIZATION METHODS). ООО НАУЧНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА , 59-60.
76. Усмонов,М.T, М.А.Турдиева (2021). ГЛАВА 9. МЕТОДЫ И СРЕДСТВА СОВРЕМЕННОЙ ЗАЩИТЫ КОМПЬЮТЕРНЫХ СЕТЕЙ. РИСКИ И ПРИНЦИПЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ В ЭЛЕКТРОННОЙ ПОЧТЕ. ББК 60 С69, Ст-99.
77. Усмонов,М.T, J.M.Saipnazarov, K.B. Ablaqulov (2021 SOLUTION OF MATHEMATICAL PROBLEMS IN LOWER CLASSES. Книга: АКТУАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ СОВРЕМЕННОЙ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ, 167-177.
